leet33.search-in-rotated-sorted-array

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 向左旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 下标 3 上向左旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

**输入：**nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0 **输出：**4

示例 2：

**输入：**nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3 输出：-1

示例 3：

**输入：**nums = [1], target = 0 输出：-1

提示：

• 1 <= nums.length <= 5000
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• nums 中的每个值都 独一无二
• 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
• -10^4 <= target <= 10^4

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思路

最朴素的就是先找到旋转了多少，也就是数组最小元素的下标 $k$ ¹，找到 $k$ 之后，就可以在 $[k,k+n)$ 这个区间执行朴素二分查找，其中 $n$ 为数组长度。只要注意取下标时，都模 $n$ 就好了。实际上建立了一个 $f:[n]\to [n]$ 的映射，

$$f(x)=x+k\mathrm{mod}n.$$

而数组在这个变换之后是有序的，所以可以执行朴素二分。

Code

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int k = find_k(nums);
        int n = nums.size();
        int beg = k, end = k + n;
 
        while (beg + 1 < end) {
            int mid = (beg + end) / 2; // beg <= mid < end
            if (target == nums[mid % n]) {
                return mid % n;
            }
            else if (target < nums[mid % n]) {
                end = mid;
            }
            else {
                beg = mid;
            }
        }
        // 循环退出还剩一个元素单独检查一下
        if (target == nums[beg % n]) {
            return beg % n;
        }
        return -1;
    }
 
    // 找到最小元素的下标k
    int find_k(const vector<int>& nums) {
        int a = 0, b = nums.size() - 1;
        while (a < b) {
            int m = a + (b - a) / 2;
            if (nums[m] > nums[b]) {
                a = m + 1;
            }
            else {
                b = m;
            }
        }
        return a;
    }
};

思路二

一次二分。需要做详细边界讨论，比较费脑子。我们只讨论一边，什么情况下应该往左边搜索？

image credit: https://leetcode.cn/problems/search-in-rotated-sorted-array/solutions/783304/zhi-you-san-chong-qing-kuang-xia-hui-wan-sj56

1. left < target < mid
2. mid < left < target
3. target < mid < left

Code2

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int beg = 0, end = n - 1;
        while (beg < end) {
            int mid = beg + (end - beg) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            if ((nums[mid] < nums[beg] && target < nums[mid]) ||
                (nums[mid] < nums[beg] && target >= nums[beg]) ||
                (nums[beg] <= target && target < nums[mid])) {
                    end = mid - 1;
            } else {
                beg = mid + 1;
            }
        }
        return nums[beg] == target ? beg : -1;
    }
};

Footnotes

1. leet153.find-minimum-in-rotated-sorted-array ↩